Sequências e séries infinitas de números reais, apesar de formarem um tópico introdutório em disciplinas Cálculo e Análise, têm ampla utilização dentro da Matemática e da Física devido as suas diversas utilizações e aplicações. Neste trabalho, nosso objetivo é estudar o comportamento da subsequência  da sequência  de números primos através da teoria de séries de números positivos. Nossa abordagem utiliza uma combinação entre uma consequência do importante Teste de Kummer, o qual fornece condições necessárias e suficientes para que uma série de termos positivos convirja ou divirja e o notável Teste da Condensação de Cauchy, o qual caracteriza a convergência e divergência de séries cujos os termos são positivos e formam uma sequência decrescente.